Теорема. Эквивалентность определений прямой суммы

Теорема

Определения Def 1 и Def 2 прямой суммы эквивалентны.

Доказательство

Def 1 $⟹$ Def 2 Возьмём вектор $y\in L_1\cap L_2$ и вектор $x=x_1+x_2\in L_1+L_2,x_1\in L_1,x_2\in L_2$
Рассмотрим сумму векторов: $x+y=x_1+x_2+y=\left(x_1+y\right)+x_2$Здесь $x_1+y\in L_1,x_2\in L_2$. С другой стороны:
$x+y=x_1+x_2+y=x_1+\left(y+x_2\right)$, где $x_1\in L_1,x_2+y\in L_2$
Поскольку любой вектор из суммы подпространств имеет единственное разложение такого вида, делаем вывод, что $y=\theta$.

Def 2 $⟹$ Def 1 Пусть $x=x_1+x_2,x=y_1+y_2$, где $x_1,y_1\in L_1,x_2,y_2\in L_2$. Вычитая из первого разложения второе, получим: $\left(x_1-y_1\right)+\left(x_2-y_2\right)=\theta$Обозначим первую разность за $u$, а вторую за $v\left(u\in L_1,v\in L_2\right)$. Тогда $u+v=\theta ⟹u=-v$. Однако из $u\in L_1$ следует, что и $v\in L_1$, т.е. $v\in L_1\cap L_2$. Это возможно в единственном случае если $v=\theta =u$, но тогда $x_1=y_1,x_2=y_2$, т.е. разложение единственно.

линейноепространство