Теорема. Формула извлечения квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

Формула для извлечения квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме

$$z=a+bi,\sqrt{z}=x+iy⟺a=x^2-y^2,b=2xy$$

Без доказательства

Пример

Рассмотрим $\sqrt{3-4i}=x+iy$, тогда

$$x^2-y^2=3,2xy=-4$$

отсюда $y=-\frac{2}{x}$, получаем уравнение

$$x^2-\frac{4}{x^2}=3$$

далее биквадратное уравнение:

$$\begin{array}{rl}& x^4-3x^2-4=0\\ & x^2=\frac{3\pm 5}{2}\end{array}$$

По определению вещественной части комплексного числа, $x\in \mathbf{R}$, следовательно, $x^2=4$, $x=\pm 2$, откуда $y=\mp 1$.

Таким образом, $\sqrt{3-4i}=x+iy=\pm (2-i)$.

Возводя в квадрат полученный результат, убеждаемся в получении $3-4i$.

комплексныечисла