Теорема. Размерность прямой суммы подпространств

Теорема

Сумма всех элементов любой строки (или столбца) матрицы $A$, умноженных на их алгебраические дополнения, равна $\det A$.

Доказательство

Для иллюстрации этого факта достаточно сгруппировать входящие в определитель произведения по вхождению в них соответствующего элемента выбранной строки (столбца). Поскольку в каждом произведении должен находиться один элемент $i$-й строки, больше никаких произведений не останется. Получим, что $\det A=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\dots +a_{in}{A}_{\text{in }}$

Следствие 1

Сумма произведений произвольных чисел $b_1,b_2,\dots ,b_n$ на алгебраические дополнения какой-нибудь строки (столбца) равна определителю матрицы, у которой эта строка (столбец) заменена числами $b_1,b_2,\dots ,b_n$.

Следствие 2

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.

Благодаря следствию 1 мы получили Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами).

матрица