Теорема. Произведение матричных блоков

Теорема

Пусть даны матрицы $A_{m\times n},B_{n\times l}$, которые разбиты на блоки:

$$A=\left(\begin{array}{ll}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ll}{B}_1& B_2\\ B_3& B_4\end{array}\right)$$

Будем считать, что блоки подобраны так, чтобы были возможны произведения
$A_1{B}_1,A_2{B}_3,A_1{B}_2,A_2{B}_4,A_3{B}_1,A_4{B}_3,A_3{B}_2,A_4{B}_4$.

$$AB=\left(\begin{array}{ll}{A}_1{B}_1+A_2{B}_3& A_1{B}_2+A_2{B}_4\\ A_3{B}_1+A_4{B}_3& A_3{B}_2+A_4{B}_4\end{array}\right)$$

Доказательство

Пусть блоки имеют размеры:

$$\begin{array}{rl}& A_1-p\times q\\ & A_2-p\times (n-q)\\ & A_3-(m-p)\times q\\ & A_4-(m-p)\times (n-q),\\ & B_1-q\times s\\ & B_2-q\times (l-s)\\ & B_3-(n-q)\times s,\\ & B_4-(n-q)\times (l-s)\end{array}$$

Рассмотрим элемент $c_{ik}(i\le p,k\le s)$ матрицы произведения $C=AB$ :
$c_{ik}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}={\sum }_{j=1}^q{a}_{ij}{b}_{jk}+{\sum }_{j=q+1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}=d_{ik}+f_{ik}$,
где $d_{ik}$ - соответствующий элемент произведения $A_1{B}_1$,
$f_{ik}$ - элемент произведения $A_2{B}_3$.
Аналогично рассматриваются элементы остальных блоков матрицы $AB$.

матрица