Теорема. О рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами

многочлены теорема аиг дмити

Теорема о рациональных корнях

Пусть несократимая дробь $p/q$ (где $p\in \mathbb{Z}$ ¹, $q\in \mathbb{N}$², $\text{НОД}(p,q)=1$ ³) является корнем многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами.
Тогда выполняются следующие условия делимости:

1. Старший коэффициент $a_n$ делится на знаменатель дроби $q$ ($a_n⋮q$).

2. Свободный член $a_0$ делится на числитель дроби $p$ ($a_0⋮p$).

Необходимое условие

Данная теорема предоставляет лишь необходимое условие существования рационального корня. Это означает, что если рациональный корень существует, он обязательно имеет такой вид. Однако не каждое число вида $p/q$, удовлетворяющее условиям делимости, является корнем. Требуется проверка подстановкой.

Доказательство

Пусть $x=\frac{p}{q}$ – корень многочлена $P(x)=0$, и дробь $\frac{p}{q}$ несократима ($\text{НОД}(p,q)=1$)³.

1. Подстановка и приведение к общему знаменателю:
   Подставим значение корня в уравнение:

   $$a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+\cdots +a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0$$

   Умножим обе части равенства на $q^n$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $$a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots +a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n=0$$

2. Доказательство делимости свободного члена ($a_0⋮p$):
   Выразим слагаемое, содержащее $a_0$:

   $$a_0{q}^n=-\left(a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots +a_{1}p{q}^{n-1}\right)$$

   Вынесем общий множитель $p$ в правой части:

   $$a_0{q}^n=-p\left(a_n{p}^{n-1}+a_{n-1}{p}^{n-2}q+\cdots +a_1{q}^{n-1}\right)$$

   Так как выражение в скобках является целым числом, правая часть делится на $p$. Следовательно, левая часть $a_0{q}^n$ также должна делиться на $p$.
   Поскольку числа $p$ и $q$ взаимно просты, то $p$ и $q^n$ не имеют общих множителей. Следовательно, на $p$ должен делиться коэффициент $a_0$.

3. Доказательство делимости старшего коэффициента ($a_n⋮q$):
   Аналогично выразим слагаемое, содержащее $a_n$:

   $$a_n{p}^n=-\left(a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots +a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n\right)$$

   Вынесем общий множитель $q$ в правой части:

   $$a_n{p}^n=-q\left(a_{n-1}{p}^{n-1}+\cdots +a_{1}p{q}^{n-2}+a_0{q}^{n-1}\right)$$

   Правая часть делится на $q$, значит, и левая часть $a_n{p}^n$ делится на $q$.
   Так как $\text{НОД}(p,q)=1$, а поскольку возведение в степень копирует простые множители нашего числа, не добавляя новых получаем $\text{НОД}(p^n,q)=1$. Следовательно, на $q$ обязан делиться коэффициент $a_n$.

Следствие

Каждый целый корень $p$ многочлена $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ с целыми коэффициентами является делителем свободного члена $a_0$. В этом случае $q=1$

Footnotes

1. Множество целых чисел ↩

2. Множество натуральных чисел ↩

3. Условие взаимной простоты ↩ ↩²