Теорема. Оператор задаваемый значениями на базисе

Теорема

Пусть $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ — Базис линейного пространства $L$ над полем $F$,
а $\{g_1,g_2,\dots ,g_n\}\subseteq L$ — произвольные векторы.
Тогда существует единственный линейный оператор $A:L\to L$, такой что

$$A(e_i)=g_i,i=1,\dots ,n.$$

Доказательство

1. Корректность определения.
Каждый вектор $x\in L$ однозначно раскладывается по базису

$$x={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_n{e}_n,{\alpha }_i\in F.$$

Если бы существовало другое разложение с коэффициентами ${\alpha }_i^{\prime }$, их разность дала бы
$0={\sum }_{i=1}^n({\alpha }_i-{\alpha }_i^{\prime })e_i$,
что противоречило бы линейной независимости $\{e_i\}$.
Заменим $e_i\mapsto g_i$ и положим

$$A(x)={\alpha }_1{g}_1+{\alpha }_2{g}_2+\cdots +{\alpha }_n{g}_n.$$

Единственность координат $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ обеспечивает однозначность $A(x)$.

2. Линейность.
Пусть $y={\beta }_1{e}_1+\cdots +{\beta }_n{e}_n$ и $\lambda \in F$.
Аддитивность. Сначала складываем векторы:

$$x+y=({\alpha }_1+{\beta }_1)e_1+\cdots +({\alpha }_n+{\beta }_n)e_n,$$

затем применяем $A$:

$$A(x+y)=({\alpha }_1+{\beta }_1)g_1+\cdots +({\alpha }_n+{\beta }_n)g_n=A(x)+A(y).$$

Однородность. Используем свойство $A(\lambda e_i)=\lambda A(e_i)=\lambda g_i$:

$$A(\lambda x)=A(\lambda {\alpha }_1{e}_1+\cdots +\lambda {\alpha }_n{e}_n)=\lambda {\alpha }_1{g}_1+\cdots +\lambda {\alpha }_n{g}_n=\lambda A(x).$$

Таким образом $A$ удовлетворяет обеим аксиомам линейного оператора.

3. Единственность.
Если другой линейный оператор $B$ также удовлетворяет $B(e_i)=g_i$, то для любого $x$

$$B(x)={\alpha }_1{g}_1+\cdots +{\alpha }_n{g}_n=A(x),$$

следовательно $B=A$

Пример

Пусть $L={\mathbb{R}}^3$, стандартный базис
$e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)$.
Зададим образы

$$g_1=(1,1,0),g_2=(0,1,1),g_3=(1,0,1).$$

Эти $g_i$ линейно независимы, поэтому оператор окажется обратимым.
Матрица $A$ в том же базисе берёт столбцами векторы $g_i$:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$

Для произвольного $x=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathsf{T}}$ имеем

$$A(x)=(x_1+x_3,x_1+x_2,x_2+x_3{)}^{\mathsf{T}},$$

что легко проверяется прямым умножением.

линейныйоператор