Теорема. Ограниченность числа линейно независимых векторов

Теорема

Даны линейно независимые векторы $f_1,f_2,\dots ,f_m$, через которые выражаются векторы $g_1,\dots g_k$ : $\begin{array}{rl}& g_1=a_{11}{f}_1+\dots a_{1m}{f}_m,\\ & g_2=a_{21}{f}_1+\dots a_{2m}{f}_m,\\ & \dots \\ & g_k=a_{k1}{f}_1+\dots a_{km}{f}_m\end{array}$Если векторы $g_i$ линейно независимы, то $k\le m$.
Суть утверждения: из $m$ линейно независимых векторов никакими линейными комбинациями не получить большее число линейно независимых векторов.

* Доказательство

Рассмотрим линейную комбинацию векторов ${\lambda }_1{g}_1+\dots +{\lambda }_k{g}_k$. Поскольку векторы линейно независимы, она равна нулю только в тривиальном случае ( ${\lambda }_1=\dots ={\lambda }_k=0$ ).

Подставим в равенство ${\lambda }_1{g}_1+\dots +{\lambda }_k{g}_k=\theta$ выражения для векторов $g_i$ из условий теоремы:
${\lambda }_1\left(a_{11}{f}_1+\dots a_{1m}{f}_m\right)+\dots +{\lambda }_k\left(a_{k1}{f}_1+\dots a_{km}{f}_m\right)=\theta$,
или
$\left({\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{i1}\right)f_1+\left({\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{i2}\right)f_2\dots +\left({\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{im}\right)f_m=\theta$
Так как векторы $f_1,f_2,\dots ,f_m$ линейно независимы, то все коэффициенты при них равны нулю, то есть: $\{\begin{array}{l}{\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{i1}=0\\ {\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{i2}=0\\ \cdots \\ {\sum }_{i=1}^k{\lambda }_i{\alpha }_{im}=0\end{array}$Эта система уравнений имеет относительно ${\lambda }_1$ единственное решение ${\lambda }_1=\dots {\lambda }_k=0$ (вследствие линейной независимости $g_1,\dots ,g_k$, см. выше)

Это возможно только при условии равенства ранга матрицы коэффициентов и числа неизвестных, т.е. $k$. Тогда число уравнений не меньше $k$ и $k\le m$.

Следствие

Если в пространстве $L$ существует $n$ линейно независимых векторов $e_1,e_2,\dots ,e_n$, причём каждый вектор из $L$ есть их линейная комбинация, то пространство $n$-мерно.

линейноепространство