Теорема. НОК

Теорема

Пусть HOK$(f(x),g(x))=k(x)$, НОД $(f(x),g(x))=d(x)$.
Тогда $d(x)k(x)=f(x)\cdot g(x)$.

Доказательство

Если $d(x)$ это наибольший общий делитель, то $f=f_{1}d,g=g_{1}d$, при этом $\left(f_1,g_1\right)=1$ (иначе нашёлся бы многочлен $d\cdot d_1$, на который делились бы два данных многочлена)

Положим $k=f_1{g}_{1}d$ и докажем, что это $\mathrm{HOK}(f,g)$.

То, что $k$ делится на $f$ и $g$, очевидно (они входят в его разложение).
Пусть некий многочлен $h$ также делится на $f$ и $g$.
Тогда $h=h_{f}f=h_{g}g$, отсюда $h_f{f}_{1}d=h_g{g}_{1}d$ и $h_f{f}_1=h_g{g}_1$.

Из взаимной простоты $f_1$ и $g_1$ следует в частности, что $h_f$ делится на $g_1$, откуда $h_{f}f$ делится на $f{g}_1=k$

многочлены