Теорема. Матрица линейного оператора в произвольном базисе

Теорема

Для любого линейного оператора $A:L\to L$ и любого базиса
$e_1,e_2,\dots ,e_n$ пространства $L$ существует единственная матрица $A_e$,
описывающая действие $A$ в этом базисе.

Доказательство

Шаг 1. Разложения образов базиса
Для каждого $e_i$ найдём координаты его образа:

$$A(e_i)={\xi }_{1i}{e}_1+{\xi }_{2i}{e}_2+\cdots +{\xi }_{ni}{e}_n,i=1,\dots ,n$$

Шаг 2. Формирование матрицы
Расположим координаты $A(e_1)$ в первом столбце, $A(e_2)$ — во втором, и т.д.:

$$A_e=\left(\begin{array}{cccc}{\xi }_{11}& {\xi }_{12}& \dots & {\xi }_{1n}\\ {\xi }_{21}& {\xi }_{22}& \dots & {\xi }_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\xi }_{n1}& {\xi }_{n2}& \dots & {\xi }_{nn}\end{array}\right)$$

Шаг 3. Проверка на произвольном векторе
Пусть

$$x={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\cdots +{\alpha }_n{e}_n,x_e^{\mathsf{T}}=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right)$$

Умножим $A_e$ на столбец координат $x$:

$$A_e{x}_e^{\mathsf{T}}=\left(\begin{array}{c}{\xi }_{11}{\alpha }_1+{\xi }_{12}{\alpha }_2+\cdots +{\xi }_{1n}{\alpha }_n\\ {\xi }_{21}{\alpha }_1+{\xi }_{22}{\alpha }_2+\cdots +{\xi }_{2n}{\alpha }_n\\ ⋮\\ {\xi }_{n1}{\alpha }_1+{\xi }_{n2}{\alpha }_2+\cdots +{\xi }_{nn}{\alpha }_n\end{array}\right)$$

С другой стороны, линейность даёт

$$A(x)={\alpha }_{1}A(e_1)+\cdots +{\alpha }_{n}A(e_n)=({\xi }_{11}{\alpha }_1+\cdots +{\xi }_{1n}{\alpha }_n)e_1+\cdots +({\xi }_{n1}{\alpha }_1+\cdots +{\xi }_{nn}{\alpha }_n)e_n$$

Координатный столбец $A(x)$ совпадает с $A_e{x}_e^{\mathsf{T}}$, следовательно построенная матрица корректно описывает оператор.
Шаг 4. Единственность
Любая матрица, дающая правильные координаты для всех $e_i$, обязана содержать те же столбцы $({\xi }_{1i},\dots ,{\xi }_{ni}{)}^{\mathsf{T}}$, поэтому совпадает с $A_e$.

линейныйоператор