Теорема. Линейная зависимость строк

Теорема

Для того, чтобы система строк (столбцов) $A_1,A_2,\dots ,A_n$ была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы одна из строк (один из столбцов) $A_i$ являлась линейной комбинацией других:

$$A_i={\lambda }_1{A}_1+\dots +{\lambda }_{i-1}{A}_{i-1}+{\lambda }_{i+1}{A}_{i+1}+\dots +{\lambda }_n{A}_n$$

Доказательство

Пусть строки линейно зависимы, т.е. существуют такие ${\alpha }_i$, не все равные нулю, $(i=1,2,\dots ,n)$ что ${\alpha }_1{A}_1+{\alpha }_2{A}_2+\dots +{\alpha }_k{A}_k=\theta$
Пусть для определённости ${\alpha }_i\ne 0$. Тогда:

$$A_i=-\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_i}{A}_1-\dots -\frac{{\alpha }_{i-1}}{{\alpha }_i}{A}_{i-1}-\frac{{\alpha }_{i+1}}{{\alpha }_i}{A}_{i+1}-\dots -\frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_i}{A}_n$$

Обратно. Пусть одна из строк является линейной комбинацией остальных:

$$\begin{array}{rl}& A_i={\lambda }_1{A}_1+\dots +{\lambda }_{i-1}{A}_{i-1}+{\lambda }_{i+1}{A}_{i+1}+\dots +{\lambda }_n{A}_n⟹\\ & {\lambda }_1{A}_1+\dots +{\lambda }_{i-1}{A}_{i-1}-A_i+{\lambda }_{i+1}{A}_{i+1}+\dots +{\lambda }_n{A}_n=\Theta .\end{array}$$

матрица