Теорема. Линейная зависимость векторов в трехмерном пространстве

Теорема

Любые четыре (или более) вектора $\overline{a_1},\overline{a_2},\overline{a_3},\overline{a_4}\in V^3$ линейно зависимы, т.е. найдутся такие числа ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4$, не все равные нулю, что ${\lambda }_1\overline{a_1}+{\lambda }_2\overline{a_2}+{\lambda }_3\overline{a_3}+{\lambda }_4\overline{a_4}=\overline{0}$

Доказательство

Существование таких чисел ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4$ равносильно существованию ненулевого решения однородной системы линейных уравнений относительно данных четырёх неизвестных: $\left(\begin{array}{llll}{x}_1& x_2& x_3& x_4\\ y_1& y_2& y_3& y_4\\ z_1& z_2& z_3& z_4\end{array}\right)$Система имеет три уравнения, следовательно Ранг матрицы $\mathrm{rank}A=3<4=n$. Это и есть условие существования ненулевого решения ОСЛУ.

вектор