Теорема. Дополнение до базиса

Теорема

В $n$-мерном пространстве любую систему линейно независимых векторов можно дополнить до базиса.

Доказательство

Пусть $g_1,g_2,\dots ,g_k$ - линейно независимые векторы и $k<n$. Рассмотрим какой-нибудь базис этого пространства, например $e_1,e_2,\dots ,e_n$.

Если бы каждый вектор $e_i(i=1,\dots ,n)$ был линейной комбинацией векторов $g_1,g_2,\dots ,g_k$, то по теореме об ограниченности числа лнз векторов было бы верно $n\le k$.
Но по условию $k<n$, следовательно, среди векторов $e_1,e_2,\dots ,e_n$ есть хотя бы один, который не является линейной комбинацией $g_1,g_2,\dots ,g_k$, например, $e_s$. Добавим его ко множеству векторов $g_i(i=1,\dots ,k)$. Теперь векторов будет $k+1$, которые также линейно независимы (иначе $e_s$ выражался бы через оставшиеся векторы - проверьте). Если $k+1<n$, то повторим этот процесс, пока не получим количество векторов, равное $n$, то есть новый базис.

линейноепространство