Теорема. Ассоциативность композиции функций

Теорема

Операция композиции функций ассоциативна, то есть для
$h:X\to Y,g:Y\to Z,f:Z\to W$ выполнено: $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$

Доказательство

Пусть $x\in X$:

$$(f\circ (g\circ h))(x)=f((g\circ h)(x))=f(g(h(x))),$$

и

$$((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x))=f(g(h(x))).$$

Таким образом, обе композиции совпадают.

Замечание

Если $f,g:X\to X$, то, как правило, $f\circ g\ne g\circ f$.

Замечание 2

Другой вариант записи — $(g\circ f)(x)=f(g(x))$ — не используется в данном курсе.

функцияиотображение