Неприводимые многочлены

Рассмотрим многочлен $f(x)=x^4+x^3+x-1$. Попробуем разложить его на множители:

Разложение на множители

$$f(x)=x^4-1+x\left(x^2+1\right)=\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)+x\left(x^2+1\right)=\left(x^2+1\right)\left(x^2+x-1\right).$$

Можно ли продолжить разложение?
Если мы ограничиваемся множеством рациональных чисел, то нельзя.
Если расширить значения переменной до множества вещественных чисел, то у второго сомножителя появятся корни $\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$, и, пользуясь следствием из теоремы Безу, мы получим:

$$f(x)=\left(x^2+1\right)\left(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right).$$

Если же использовать множество комплексных чисел, то разложится и первый сомножитель. В итоге получим:

$$f(x)=(x+i)(x-i)\left(x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(x+\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right).$$

Отсюда мы видим, что над множеством рациональных чисел $f(x)$ раскладывался в произведение двух неприводимых многочленов, над множеством вещественных чисел - в произведение трёх, над множеством комплексных - в произведение четырёх неприводимых многочленов.

многочлены комплексныечисла множество