Свойства обратной матрицы

Пусть $A,B$ - невырожденные подходящие матрицы. Рассмотрим свойства обратной матрицы:
1.

$$\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$$

Следует из $\det A^{-1}\cdot \det A=1$.

2. $${\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A$$
3. $$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$

   Во-первых, $AB$ невырождена, так как $\det (AB)=\det A\cdot \det B$, значит, имеет обратную. Далее, $AB{B}^{-1}{A}^{-1}=AE{A}^{-1}=A{A}^{-1}=E$. Аналогично в обратном порядке.

4. $${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$$

   Действительно, ${\left(A^{-1}A\right)}^T=A^T{\left(A^{-1}\right)}^T=E^T=E$, следовательно обратной к $A^T$ является ${\left(A^{-1}\right)}^T$

Замечание

Систему из $n$ уравнений с $n$ неизвестными можно записать в матричном виде:
$A\cdot X=B$, где $X$ и $B$-столбцы неизвестных и свободных членов соответственно.
Отсюда $X=A^{-1}B$

матрица