Преобразование третьего типа

Преобразование третьего типа. Прибавление к элементам одной строки (или столбца) элементов другой строки (или столбца), умноженных на заданный элемент $\lambda$ из поля $P$.

Поскольку в каждой строке (столбце) появляется сумма, нужно в одну из строк (столбцов) матрицы $E$ поместить вместо 0 число $\lambda$ :

• Для строк: $\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{ccccccc}& & i& & k& & \\ 1& \dots & 0& \dots & 0& \dots & 0\\ \dots & & & & & & \\ 0& \dots & 1& \dots & \lambda & \dots & 0\\ \dots & & & & & & \\ 0& \dots & 0& \dots & 1& \dots & 0\\ \dots & & & & & & \\ 0& \dots & 0& \dots & 0& \dots & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ \dots & & & \\ a_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\\ \dots & & & \\ a_{k1}& a_{k2}& \dots & a_{kn}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)=\\ & =\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ \dots & & & \\ a_{i1}+\lambda a_{k1}& a_{i2}+\lambda a_{k2}& \dots & a_{in}+\lambda a_{kn}\\ \dots & & & \\ a_{k1}& a_{k2}& \dots & a_{kn}\\ \dots & & & \\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)\end{array}$

• Для столбцов: $\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{lcccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1j}& \dots & a_{1k}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & a_{2j}& \dots & a_{2k}& \dots & a_{2n}\\ a_{31}& \dots & a_{3j}& \dots & a_{3k}& \dots & a_{3n}\\ \dots & & & & & & \\ a_{m1}& \dots & a_{mj}& \dots & a_{mk}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{lcccccc}& & j& & k& & \\ 1& \dots & 0& \dots & 0& \dots & 0\\ \dots & & & & & & \\ 0& \dots & 1& \dots & 0& \dots & 0\\ \dots & & & & & & \\ 0& \dots & \lambda & \dots & 1& \dots & 0\\ \dots & & & & & & \\ 0& \dots & 0& \dots & 0& \dots & 1\end{array}\right)=\\ & \left(\begin{array}{lcccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1j}+\lambda a_{1k}& \dots & a_{1k}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& \dots & a_{2j}+\lambda a_{2k}& \dots & a_{2k}& \dots & a_{2n}\\ a_{31}& \dots & a_{3j}+\lambda a_{3k}& \dots & a_{3k}& \dots & a_{3n}\\ \dots & & & & & & \\ a_{m1}& \dots & a_{mj}+\lambda a_{mk}& \dots & a_{mk}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)\end{array}$

Обратите внимание

У матриц $S_{ij\lambda }$ при умножении с разных сторон $\lambda$ находится в разных местах: для столбцов это элемент $e_{kj}$, для строк - $e_{ik}$.

матрица