Нахождение обратной матрицы с помощью Теоремы Крамера

Теорема

Для элементов $a_{ij}^{\prime }$ обратной матрицы $A^{-1}$ :

$$a_{ij}^{\prime }=x_j^{(i)}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ji}}{\Delta }$$

Симметричность индексов

Индексы самого элемента и дополнительного минора не совпадают, а симметричны

Доказательство

Обозначим через $E_{j}j$-й столбец единичной матрицы, т.е. столбец, состоящий из нулей и единицы на $j$-й позиции. Обратим внимание, что $j$-й столбец обратной матрицы $A^{-1}$ (собственно, как и любой другой матрицы) выражается через саму матрицу следующим образом:

$$\left(A_j^{-1}\right)=A^{-1}\cdot E_j$$

что видно из правила умножения матриц.

Далее, умножим это равенство слева на матрицу $A$, получим:

$$A\cdot \left(A_j^{-1}\right)=E_j$$

Поскольку задача состоит в поиске элементов столбца $A_j^{-1}$ ,переобозначим его как $X_j$ и перепишем последнее равенство в терминах теоремы Крамера:

$$A\cdot X_j=E_j$$

По теореме Крамера, значение $i$-й переменной (т.е. $i$-го элемента столбца), вычисляется по формуле:

$$x_j^{(i)}=\frac{{\Delta }^{(i{)}_j}}{\Delta }$$

где $\Delta$, разумеется, это определитель матрицы $A$, а ${\Delta }_j^{(i)}$ - определитель матрицы, полученной из $A$ заменой $i$-го столбца на $j$-й столбец матрицы $E$ (убедитесь, что это так, определив место данного элемента в матрице $A$ ).

Теперь разложим ${\Delta }_j^{(i)}$ по $i$-му же столбцу, не забывая, что в нём только один ненулевой элемент, так как он взят из матрицы $E$ :

$${\Delta }_j^{(i)}=(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ji}$$

Обратите внимание

Индексы самого элемента и дополнительного минора не совпадают, а симметричны, что опять же следует из его положения в $A$.

Окончательно получаем для элементов $a_{ij}^{\prime }$ матрицы $A^{-1}$ :

$$a_{ij}^{\prime }=x_j^{(i)}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ji}}{\Delta }$$

матрица