Свойства линейного пространства

Для любого линейного пространства:

1. $0x=\theta$

   Действительно, при любом $x\in L$ имеет место: $x=(0+1)x=0x+x$, аналогично: $x=x+0x$. Следовательно, $0x$ - нейтральный элемент $\theta$

2. $\lambda \theta =\theta$ при любом $\lambda$ из поля $P$

   Имеем: $\lambda \theta =\lambda (\theta +\theta )=\lambda \theta +\lambda \theta$, т.е. $\lambda \theta =\theta$

3. В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент:

Доказательство

Пусть $\theta ,{\theta }_1$ - два нейтральных элемента $L$. Тогда
$\theta +{\theta }_1=\theta$ (в силу нейтральности ${\theta }_1$ ),
$\theta +{\theta }_1={\theta }_1$ (в силу нейтральности $\theta$ ), следовательно, элементы равны.

4. Если $\lambda x=\theta$, то либо $\lambda =0$, либо $x=\theta$

   Пусть $\lambda \ne 0$, тогда $\lambda x=\theta ⟹$ (св. 2) $\frac{1}{\lambda }(\lambda x)=\theta ⟹x=\theta$

5. $(-1)\cdot x=-x$ т.е. противоположный элемент получается из исходного умножением на -1

   $(-1+1)x=0\cdot x⟹(-1)\cdot x+1\cdot x=\theta ⟹(-1)\cdot x+x=\theta ⟹(-1)\cdot x=-x$

линейноепространство