Примеры линейных операторов и их матриц

1. Нулевой оператор

Определён правилом $\Theta (x)=\theta$ для любого $x\in L$.
Так как $\Theta (g_i)=\theta$ для каждого базисного $g_i$, все координаты равны $0$,

$$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0\end{array}\right)$$

2. Тождественный оператор

Задан формулой $\mathrm{Id}(x)=x$.
Для базиса $g_1,\dots ,g_n$ имеем
$\mathrm{Id}(g_1)=g_1,\mathrm{Id}(g_2)=g_2,\dots ,\mathrm{Id}(g_n)=g_n,$
следовательно все коэффициенты стоят на главной диагонали:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right)$$

3. Оператор дифференцирования

Пространство многочленов $P^n[x]$, естественный базис

$$e_1=x^n,e_2=x^{n-1},\dots ,e_n=x,e_{n+1}=1.$$

Действие оператора $D(f)=f^{\prime }$ на базисе:

$$\begin{array}{rl}& D(e_1)=n{x}^{n-1}=n{e}_2,\\ & D(e_2)=(n-1)x^{n-2}=(n-1)e_3,\\ & ⋮\\ & D(e_n)=1\cdot e_{n+1},\\ & D(e_{n+1})=0.\end{array}$$

Значит матрица $D_e$ имеет ненулевые элементы только на первой подпобочной диагонали:

$$D_e=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& \dots & 0& 0\\ n& 0& 0& \dots & 0& 0\\ 0& n-1& 0& \dots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 2& 0& 0\\ 0& 0& \dots & 0& 1& 0\end{array}\right)$$

линейныйоператор