Свойства модуля комплексного числа

$\forall z \in C ∣ z ∣ \geq 0$ , причём $∣ z ∣ = 0 ⟺ z = 0$ .

Очевидно.
$∣ z ∣ = ∣ \overset{z}{ˉ} ∣$ .

Очевидно.
$∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$

Распишите самостоятельно в алгебраической форме.
$∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$

Доказательство

Воспользуемся тригонометрической формой комплексных чисел.

Пусть $z_{1} = r_{1} (cos ϕ_{1} + i sin ϕ_{1}), z_{2} = r_{2} (cos ϕ_{2} + i sin ϕ_{2})$ .
$∣ z_{1} \pm z_{2} ∣^{2} = ∣ r_{1} (cos ϕ_{1} + i sin ϕ_{1}) \pm r_{2} (cos ϕ_{2} + i sin ϕ_{2}) ∣^{2}$
$= ∣ (r_{1} cos ϕ_{1} \pm r_{2} cos ϕ_{2}) + i (r_{1} sin ϕ_{1} \pm r_{2} sin ϕ_{2}) ∣^{2}$
$= (r_{1} cos ϕ_{1} \pm r_{2} cos ϕ_{2})^{2} + (r_{1} sin ϕ_{1} \pm r_{2} sin ϕ_{2})^{2}$
$= r_{1}^{2} (cos^{2} ϕ_{1} + sin^{2} ϕ_{1}) + r_{2}^{2} (cos^{2} ϕ_{2} + sin^{2} ϕ_{2}) \pm 2 r_{1} r_{2} (cos ϕ_{1} cos ϕ_{2} + sin ϕ_{1} sin ϕ_{2})$
$= r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} cos (ϕ_{1} - ϕ_{2}) \leq r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} = (∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣)^{2}$
(здесь мы воспользовались свойством $cos ϕ \leq 1$ ).

Снимаем квадраты (а это правомерно, так как внутри сумма неотрицательных величин) и получаем требуемое.

Геометрический смысл:

Длина стороны треугольника меньше либо равна сумме длин двух других сторон

$∣ z_{1} - z_{2} ∣ \geq ∣ ∣ z_{1} ∣ - ∣ z_{2} ∣ ∣$

Доказательство

Применим доказанное свойство (4) к равенству $z_{1} = (z_{1} - z_{2}) + z_{2}$ :
$∣ z_{1} ∣ \leq ∣ z_{1} - z_{2} ∣ + ∣ z_{2} ∣ ⟹ ∣ z_{1} - z_{2} ∣ \geq ∣ z_{1} ∣ - ∣ z_{2} ∣$
а заменив $z_{1}$ на $z_{2}$ , получим:
$∣ z_{2} ∣ \leq ∣ z_{2} - z_{1} ∣ + ∣ z_{1} ∣ ⟹ ∣ z_{1} - z_{2} ∣ = ∣ z_{2} - z_{1} ∣ \geq ∣ z_{2} ∣ - ∣ z_{1} ∣$
следовательно $∣ z_{1} - z_{2} ∣ \geq ∣ ∣ z_{1} ∣ - ∣ z_{2} ∣ ∣$

Геометрический смысл

Длина стороны треугольника больше либо равна модуля разности двух других сторон

комплексныечисла

etuMath

Проводник

Свойства модуля комплексного числа

Вид графа

Обратные ссылки