Свойства смешанного произведения

1. $\bar{a}\bar{b}\bar{c}=\left|\begin{array}{lll}{x}_a& y_a& z_a\\ x_b& y_b& z_b\\ x_c& y_c& z_c\end{array}\right|$

   Доказательство

Как было показано, $\bar{a}\times \bar{b}=\bar{i}\left(y_a{z}_b-z_a{y}_b\right)+\bar{j}\left(x_b{z}_a-x_a{z}_b\right)+\bar{k}\left(x_a{y}_b-x_b{y}_a\right)$

Тогда $(\bar{a}\times \bar{b},\bar{c})=\left(\bar{i}\left(y_a{z}_b-z_a{y}_b\right)+\bar{j}\left(x_b{z}_a-x_a{z}_b\right)+\bar{k}\left(x_a{y}_b-x_b{y}_a\right),x_c\bar{i}+y_x\bar{j}+z_c\bar{k}\right)=$
$=\left(y_a{z}_b-z_a{y}_b\right)x_c+\left(x_b{z}_a-x_a{z}_b\right)y_c+\left(x_a{y}_b-x_b{y}_a\right)z_c$

Далее достаточно раскрыть скобки и убедиться, что шесть полученных слагаемых есть правая часть формулы определителя третьего порядка указанного выше вида.

2. Неизменность при циклической перестановке векторов: $\bar{a}\bar{b}\bar{c}=\bar{b}\overline{ca}=\overline{ca}\bar{b}$

   Вытекает из свойства 1: в указанном определителе совершены две перестановки строк.

3. Перестановка в смешанном произведении любых двух векторов меняет его знак.

   Также следует из свойства 1: совершена одна перестановка.

4. $\bar{a},\bar{b},\bar{c}-$ компланарны $⟺\bar{a}\bar{b}\bar{c}=0$

   Доказательство

Достаточность очевидна.
Необходимость можно доказать от обратного: если векторы некомпланарны, то их Смешанное произведение не может быть равно нулю (следует, например, из координатного представления и линейной независимости строк).
Отметим, что некомпланарность подразумевает отсутствие в тройке нулевого вектора или коллинеарных векторов.

\mathrm{V}{p a r}, \text { если } \bar{a}, \bar{b}, \bar{c}-\text { правая тройка } \
-\mathrm{V}{p a r}, \text { если } \bar{a}, \bar{b}, \bar{c}-\text { левая тройка }
\end{array}\right.$$

Доказательство Здесь $V_{\text{par }}$ это значение объёма параллелепипеда, построенного на трёх данных векторах. Это так, ведь объём параллелепипеда это произведение площади параллелограмма в основании на высоту. При этом площадь равна модулю векторного произведения: $S=|\bar{a}\times \bar{b}|$ А высота это проекция ребра $\bar{c}$ на перпендикуляр, то есть: $h=\left|{\mathrm{Pr}}_{\bar{a}\times \bar{b}}\bar{c}\right|=|\bar{c}|\cos ((\bar{a}\times \bar{b},\bar{c}))=\frac{|(\bar{a}\times \bar{b},\bar{c})|}{|\bar{a}\times \bar{b}|}=\frac{\bar{a}\bar{b}\bar{c}}{|\bar{a}\times \bar{b}|}$ поскольку $\bar{a}\bar{b}\bar{c}=(\bar{a}\times \bar{b},\bar{c})=|\bar{a}\times \bar{b}||\bar{c}|\cos ((\widehat{\bar{a}\times \bar{b}},\bar{c}))$

вектор