Поверхности второго порядка

Def. Поверхность второго порядка задаётся уравнением вида

$$a_{11}{x}^2+a_{22}{y}^2+a_{33}{z}^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+bx+cy+dz+k=0.$$

Порядок рассуждений аналогичен случаю кривых второго порядка. По закону инерции количество положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов квадратичной части не зависит от способа приведения её к сумме квадратов. Поэтому после соответствующего ортогонального преобразования и сдвига координат получим уравнение вида

$${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+{\lambda }_3{z}^{\prime 2}=1,$$

где ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ — собственные значения исходной симметричной матрицы квадратичной части. В зависимости от их знаков получаем разные типы поверхностей второго порядка (вырожденные случаи опустим).

Виды поверхностей второго порядка

1. ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ одного знака:

   $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\text{эллипсоид;}$$

   (если $a=b$, эллипсоид вращения; если $a=b=c$, сфера).

2. ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ разных знаков:

   $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,\text{однополостной гиперболоид;}$$ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1,\text{двуполостной гиперболоид;}$$ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0,\text{конус;}$$

3. ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2{\lambda }_3>0$ (порядок не важен):

   $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z,\text{эллиптический параболоид;}$$ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\text{эллиптический цилиндр;}$$

4. ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2{\lambda }_3<0$ (порядок не важен):

   $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z,\text{гиперболический параболоид;}$$ $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\text{гиперболический цилиндр;}$$

5. ${\lambda }_1={\lambda }_2=0,{\lambda }_3\ne 0$:

   $$z^2=2px,\text{параболический цилиндр;}$$

   (случай $z^2=2px+2qy$ сводится к нему преобразованием в плоскости $Oxy$).

билинейнаяиквадратичнаяформы