2. Кривые и поверхности второго порядка

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка

Def. Кривая второго порядка задаётся уравнением вида $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$.
Это уравнение есть сумма квадратичной и линейной частей:
$\left(A{x}^2+Bxy+C{y}^2\right)+(Dx+Ey+F)=0$
Квадратичную часть можно привести к каноническому виду различными способами. Если это возможно, лучше пользоваться методом ортогонального преобразования, так как Ортогональный оператор сохраняет Скалярное произведение, а, значит, длины векторов (т.е. расстояния между точками) и углы между векторами. Коэффициентами ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ при квадратах будут собственные числа матрицы квадратичной формы.

Матрица перехода к новому базис в таком случае и будет матрицей ортогонального преобразования. С её помощью можно задать способ перехода к новому базису и новым координатам. Если Определитель этой матрицы равен 1, то, как известно, такое преобразование есть поворот плоскости вокруг начала координат.

Уравнение в новых координатах не будет содержать слагаемого вида $Bxy$ и примет вид

$${\lambda }_1(x-x_0{)}^2+{\lambda }_2(y-y_0{)}^2=s,$$

где ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ — собственные значения соответствующей симметричной матрицы, а $(x_0,y_0)$ — сдвиг координат. В зависимости от знаков ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ получаем три типа:

Три вида кривых второго порядка

1. ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2>0$ уравнение эллиптического типа $${\lambda }_1(x-x_0{)}^2+{\lambda }_2(y-y_0{)}^2=s⟹\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=s.$$
   • Если $s=1$, получаем эллипс $\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=1$.
   • Если $s=0$, точка.
   • Если $s=-1$, пустое множество точек (т.н. мнимый эллипс).
2. ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2<0$ уравнение гиперболического типа. $${\lambda }_1(x-x_0{)}^2+{\lambda }_2(y-y_0{)}^2=s⟹\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=s.$$
   • При $s=\pm 1$ — гипербола $\frac{(x-x_0{)}^2}{a^2}-\frac{(y-y_0{)}^2}{b^2}=\pm 1$. Знак определяет положение ветвей вдоль одной из осей.
   • Если $s=0$, пара пересекающихся прямых (вырожденный случай).
3. ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2=0$ уравнение параболического типа $${\lambda }_1(x-x_0{)}^2+{\lambda }_2(y-y_0{)}^2=s$$
   • $y^2=2px$ — парабола.
   • $y^2=2p^2$ — две параллельные прямые.
   • $y^2=0$ — одна прямая.
   • $y^2=-2p^2$ — пустое множество точек.

билинейнаяиквадратичнаяформы

Ссылка на оригинал

---

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка

Def. Поверхность второго порядка задаётся уравнением вида

$$a_{11}{x}^2+a_{22}{y}^2+a_{33}{z}^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+bx+cy+dz+k=0.$$

Порядок рассуждений аналогичен случаю кривых второго порядка. По закону инерции количество положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов квадратичной части не зависит от способа приведения её к сумме квадратов. Поэтому после соответствующего ортогонального преобразования и сдвига координат получим уравнение вида

$${\lambda }_1{x}^{\prime 2}+{\lambda }_2{y}^{\prime 2}+{\lambda }_3{z}^{\prime 2}=1,$$

где ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ — собственные значения исходной симметричной матрицы квадратичной части. В зависимости от их знаков получаем разные типы поверхностей второго порядка (вырожденные случаи опустим).

Виды поверхностей второго порядка

1. ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ одного знака:

   $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\text{эллипсоид;}$$

   (если $a=b$, эллипсоид вращения; если $a=b=c$, сфера).

2. ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ разных знаков:

   $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,\text{однополостной гиперболоид;}$$ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1,\text{двуполостной гиперболоид;}$$ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0,\text{конус;}$$

3. ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2{\lambda }_3>0$ (порядок не важен):

   $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z,\text{эллиптический параболоид;}$$ $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\text{эллиптический цилиндр;}$$

4. ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2{\lambda }_3<0$ (порядок не важен):

   $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z,\text{гиперболический параболоид;}$$ $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\text{гиперболический цилиндр;}$$

5. ${\lambda }_1={\lambda }_2=0,{\lambda }_3\ne 0$:

   $$z^2=2px,\text{параболический цилиндр;}$$

   (случай $z^2=2px+2qy$ сводится к нему преобразованием в плоскости $Oxy$).

билинейнаяиквадратичнаяформы

Ссылка на оригинал

---

По итогам лекции нужно знать

1. Кривые и поверхности второго порядка
2. Связь собственных чисел и типов кривых и поверхностей второго порядка
3. Основные теоретические факты с доказательствами

билинейнаяиквадратичнаяформы