Алгоритм Грама-Шмидта

Из доказательства теоремы о существовании ортонормированного базиса

Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта

Есть базис векторов $⟨f_1,\dots ,f_n⟩$. Чтобы его ортонормировать нужно:

1. Записать первый вектор:
   $e_1=f_1.$

2. Построить второй вектор:
   $e_2=f_2-\frac{(f_2,e_1)}{(e_1,e_1)}{e}_1,$

3. Для общего шага $k=3,\dots ,n$ выполнить:

   $$e_k=f_k-\sum _{i=1}^{k-1}\frac{(f_k,e_i)}{(e_i,e_i)}{e}_i,$$

4. Нормировка всех векторов:

\hat e_{i} = \frac{e_{i}}{|e_{i}|},\quad i=1,\dots,m.

**Результат**: векторы $\hat e_{1},\dots,\hat e_{m}$ образуют [[Ортогональный и ортонормированный базисы#^b58d53|ортонормированный базис пространства]] $\langle f_{1},\dots,f_{n} \rangle\,$ >[!warning] Замечание > > В нашем случае все вектора [[Линейная зависимость и независимость векторов|линейно независимы]], но алгоритм Грама—Шмидта может применяться к [[Линейная зависимость и независимость векторов|линейно зависимым векторам]]. Если на каком-то шаге $e_{k}=0$, исходные $f_{1},\dots,f_{k}$ зависимы. Для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортогонализации алгоритм должен отбрасывать нулевые векторы. Количество векторов будет равно количеству [[Линейная зависимость и независимость векторов|линейно независимых векторов]], которые можно выделить среди исходных векторов.

Примеры

1. Ортонормируем многочлены $f_1=x-1$ и $f_2=x^2+1$ в евклидовом пространстве ${\mathbf{R}}^n[x]$ со скалярным произведением $(f,g)={\int }_{-1}^{1}f(x)\cdot g(x)dx$ $\begin{array}{l}{g}_1=f_1\\ g_2=f_2-\frac{\left(f_2,g_1\right)}{\left(g_1,g_1\right)}{g}_1\\ \left(f_2,g_1\right)={\int }_{-1}^1\left(x^3-x^2+x-1\right)dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-{1|}_{-1}^1=-\frac{2}{3}-2=-\frac{8}{3}\\ \left(g_1,g_1\right)={\int }_{-1}^1(x-1{)}^{2}dx={\frac{1}{3}(x-1{)}^3|}_{-1}^1=\frac{8}{3}\end{array}$Таким образом, $g_2=x^2+1+x-1=x^2+x$
   Для нормирования нужно определить векторы $\frac{g_1}{\Vert g_1\Vert }$ и $\frac{g_2}{\Vert g_2\Vert }$

2. В пространстве матриц $M_{2\times 2}(\mathbf{R})$ зададим скалярное произведение как сумму произведений одноимённых элементов матриц.
   Ортогонализируем матрицы $A_1=\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ и $A_2=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$$\left(A_1,A_2\right)=2,\left(A_1,A_1\right)=4,$$ $$B_1=A_1$$ $$B_2=A_2-\frac{\left(A_2,B_1\right)}{\left(B_1,B_1\right)}{B}_1=A_2-\frac{1}{2}{B}_1=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$$

евклидовопространство