Двумерный дискретный случайный вектор

Видео

Подробнее ознакомиться с темой и изучить примеры можно в этом видео

Двумерный дискретный случайный вектор

$(\xi ,\eta )$ – двумерный дискретный случайный вектор, если дискретная величина $\xi \sim \{x_i,p_i\}$ и $\eta \sim \{y_j,q_j\}$
Вероятность совместного наступления $p_{ij}=P\{\xi =x_i,\eta =y_j\}$
Обозначение: $(\xi ,\eta )\sim \{(x_i,y_j)p_{ij}\}$

Распределение

Записывается с помощью таблицы

$\xi$ \ $\eta$	$y_1$	$y_2$	$\dots$	$y_j$	$\dots$	$y_m$
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	$\dots$	$p_{1j}$	$\dots$	$p_{1m}$	$p_1$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	$\dots$	$p_{2j}$	$\dots$	$p_{2m}$	$p_2$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\dots$	$⋮$	$\dots$	$⋮$	$⋮$
$x_i$	$p_{i1}$	$p_{i2}$	$\dots$	$p_{ij}$	$\dots$	$p_{im}$	$p_i$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$\dots$	$⋮$	$\dots$	$⋮$	$⋮$
$x_n$	$p_{n1}$	$p_{n2}$	$\dots$	$p_{nj}$	$\dots$	$p_{nm}$	$p_n$
	$q_1$	$q_2$	$\dots$	$q_j$	$\dots$	$q_m$

Распределения отдельных компонент находятся суммированием по строкам и столбцам:

$$\begin{array}{rl}{q}_j& =\sum _{i=1}^n{p}_{ij}\\ p_i& =\sum _{j=1}^m{p}_{ij}\end{array}$$

Сумма всех вероятностей в таблице будет равна:

$$\sum _i\sum _j{p}_{ij}=1$$

Функция распределения

Функция распределения примет вид:

$${\mathcal{F}}_{(\xi ,\eta )}(x,y)=P(\xi <x,\eta <y)$$