Функция правдоподобия

Функция правдоподобия

Пусть $X=(X_1,X_2,\dots X_n)\sim {\mathcal{F}}_{\xi }(\theta )$ где $\theta \in \Theta$
Функцией правдоподобия из выборки называется

• Для дискретного случая – вероятности случайного вектора $X=(X_1,X_2,\dots X_n)$

$$L(X,\theta )=P_{\theta }\{\xi =X_1\}\cdot P_{\theta }\{\xi =X_2\}\cdot \dots P_{\theta }\{\xi =X_n\}=\prod _{k=1}^n{P}_{\theta }\{\xi =X_k\}$$

• Для непрерывного случая – совместная функция плотности случайного вектора $X=(X_1,X_2,\dots X_n)$

  $$L(X,\theta )=f_{\theta }(X_1)\cdot f_{\theta }(X_2)\cdot \dots f_{\theta }(X_n)=\prod _{k=1}^n{f}_{\theta }(X_k)$$