Способы деления многочлена с остатком

Деление многочленов с остатком можно осуществлять уголком - способом, аналогичным делению уголком для чисел.

Пример

Разделить с остатком $f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 6$ на $g (x) = x^{2} - 3 x + 1$
$2 x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 6 \frac{∣ x ^{2} - 3 x + 1}{2 x ^{2} + 3 x + 11 - частное} \frac{2 x ^{4} - 6 x ^{3} + 2 x ^{2}}{3 x ^{3} + 2 x ^{2} - 5 x + 6} \frac{3 x ^{3} - 9 x ^{2} + 3 x}{11 x ^{2} - 8 x + 6} \frac{11 x ^{2} - 33 x + 11}{25 x - 5 - остаток} \Rightarrow 2 x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 5 x + 6 = (x^{2} - 3 x + 1) (2 x^{2} + 3 x + 11) + (25 x - 5)$

Схема Горнера
Деление многочлена $f (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{0}$ на двучлен $(x - x_{0})$ удобно производить по схеме Горнера
$Если f (x) = (x - x_{0}) q (x) + r (x), где q (x) = b_{n - 1} x^{n - 1} + \dots b_{0} то b_{n - 1} = a_{n}, b_{k} = b_{k + 1} \cdot x_{0} + a_{k + 1}, (k < n - 1) l$

Описание алгоритма

Первое равенство несложно видеть из сравнения старших коэффициентов $f (x)$ и $(x - x_{0}) q (x)$

Остальные получаем следующим образом (на примере коэффициента при $x^{n - 1}$ ):
$f (x)$ при $x^{n - 1}$ имеет коэффициент $a_{n - 1}$ , тогда как у многочлена в правой части этот коэффициент складывается из двух слагаемых:
$x b_{1} x^{n - 2} + x_{0} b_{0} x^{n - 1}$ , т.е. равен $b_{n - 2} - b_{n - 1} x_{0}$

И на последнем шаге для свободного члена получим:
$a_{0} = r (x) - x_{0} b_{0}$

Пример

Разделим $5 x^{4} + 5 x^{3} + x^{2} - 12$ на $(x - 1)$

Записываем коэффициенты $f (x)$ в верхнюю строку таблицы (начиная со второй ячейки), в первую ячейку второй строки записываем число $x_{0}$ (коэффициент многочлена ( $x - x_{0}$ ))

Затем последовательно заполняем ячейки второй строки коэффициентами $q (x)$ :
$b_{n - 1} = b_{3} = a_{n} = a_{4} = 5 b_{2} = b_{3} \cdot x_{0} + a_{3} = 5 \cdot 1 + 5 = 10 b_{1} = b_{2} \cdot x_{0} + a_{2} = 1 \cdot 1 + 10 = 11 b_{0} = b_{1} \cdot x_{0} + a_{1} = 11 \cdot 1 + 0 = 11$
При этом в последней ячейке окажется число $r = r (x) = - 1$ , найденное по общей формуле.

$x_{0}$ 5 5 1 0 -12
1 5 10 11 11 -1

$\Rightarrow f (x) = (5 x^{3} + 10 x^{2} + 11 x + 11) (x - 1) - 1$

многочлены
Ссылка на оригинал

$x_{0}$	5	5	1	0	-12
1	5	10	11	11	-1

3. Деление с остатком помогает выделить “целую часть” рациональной дроби

\frac{f ( x )}{g ( x )}

многочлены

etuMath

Проводник

Способы деления многочлена с остатком

Схема Горнера

Вид графа

Обратные ссылки