Теорема. Формула наивероятнейшего числа успехов

Наивероятнейшее число успехов определяется из двойного неравенства: $np-q\le m^{\ast }\le np+p$

Доказательство
По определению максимума, вероятность для наивероятнейшего числа $m^{\ast }$ должна быть не меньше вероятностей соседних значений: $\{\begin{array}{l}{P}_n(m^{\ast })\ge P_n(m^{\ast }+1)P_n(m^{\ast })\ge P_n(m^{\ast }-1)\end{array}$ Распишем вероятности по формуле Бернулли: $\{\begin{array}{l}\frac{n!}{m^{\ast }!(n-m^{\ast })!}{p}^{m^{\ast }}{q}^{n-m^{\ast }}\ge \frac{n!}{(m^{\ast }+1)!(n-m^{\ast }-1)!}{p}^{m^{\ast }+1}{q}^{n-m^{\ast }-1}\frac{n!}{m^{\ast }!(n-m^{\ast })!}{p}^{m^{\ast }}{q}^{n-m^{\ast }}\ge \frac{n!}{(m^{\ast }-1)!(n-m^{\ast }+1)!}{p}^{m^{\ast }-1}{q}^{n-m^{\ast }+1}\end{array}$ Сократим факториалы и степени $p$ и $q$: $\{\begin{array}{l}\frac{q}{n-m^{\ast }}\ge \frac{p}{m^{\ast }+1}\frac{p}{m^{\ast }}\ge \frac{q}{n-m^{\ast }+1}\end{array}$ Избавимся от знаменателей (все величины положительны): $\{\begin{array}{l}q(m^{\ast }+1)\ge p(n-m^{\ast })p(n-m^{\ast }+1)\ge q{m}^{\ast }\end{array}$ Раскроем скобки и перенесем слагаемые с $m^{\ast }$ в левую часть: $\{\begin{array}{l}q{m}^{\ast }+p{m}^{\ast }\ge np-q-p{m}^{\ast }-q{m}^{\ast }\ge -np-p\end{array}$ Вынесем $m^{\ast }$ за скобки и учтем, что $(p+q)=1$. Во втором неравенстве домножим обе части на $-1$ (поменяв знак): $\{\begin{array}{l}{m}^{\ast }(p+q)\ge np-q{m}^{\ast }(p+q)\le np+p\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{m}^{\ast }\ge np-q{m}^{\ast }\le np+p\end{array}$ Объединяя систему в двойное неравенство, получаем требуемое: $np-q\le m^{\ast }\le np+p$

Пример Найти наивероятнейшее число выпадений «орла» при $5$ бросках монеты.

• $n=5$
• $p=q=\frac{1}{2}$

Подставляем в формулу: $5\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\le m^{\ast }\le 5\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ $2\le m^{\ast }\le 3$ Так как $m^{\ast }$ должно быть целым числом, а границы интервала сами являются целыми числами, мы получаем два наивероятнейших исхода: $m^{\ast }\in 2;3$. (Вероятность выпадения орла ровно 2 раза абсолютно равна вероятности выпадения орла ровно 3 раза, и они обе являются максимальными для данной серии бросков).