Пример поиск плотности и функции распределения для двумерных непрерывных случайных величин

Задача

Дано:
Двумерная случайная величина $(\xi ,\eta )$ с плотностью:

$$f_{\xi ,\eta }(x,y)=c\cdot x\cdot {\mathbb{I}}_D(x,y)$$

где ${\mathbb{I}}_D$ – индикатор области $D$.
Область $D$ (задана графиком):

Найти:
a) Константу: $c=?$
б) Плотность $\xi$ (по $x$): $f_{\xi }(x)=?$
в) Плотность $\eta$ (по $y$): $f_{\eta }(y)=?$
г) Зависимость: $\xi ,\eta$ – независимы?
д) Функцию распределения: $F_{\xi ,\eta }(x,y)=?$

Решение а) (Поиск константы)

Для непрерывного двумерного вектора должно выполняться равенство:

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=1$$

Согласно графику области, $x$ изменяется от 0 до 1, а $y$ от 0 до линии $y=x$.
${\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x}c\cdot xdx=1$

• Внутренний интеграл (по $y$):
  Мы интегрируем по $y$, величина $cx$ считается константой:

$${\int }_0^{x}cxdy=(cx\cdot y){|}_0^x=cx\cdot x-0=c{x}^2$$

• Внешний интеграл (по $x$):

$${\int }_0^{1}c{x}^{2}dx=c\cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^1=c\cdot \left(\frac{1^3}{3}-0\right)=\frac{c}{3}=1⟹c=3$$

Плотность распределения имеет вид $f_{\xi ,\eta }(x,y)=3x{\mathbb{I}}_D(x,y)$ внутри треугольника.

Решение пункта б) (Поиск плотности $\xi$)

Чтобы оставить только зависимость от $x$, мы берем интеграл от совместной плотности по переменной $y$:

$$f_{\xi }(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$$

переменная $y$ меняется от нижней границы ($y=0$) до верхней границы ($y=x$).

Подставляем найденную в пункте а) константу $c=3$:

$$f_{\xi }(x)={\int }_0^{x}3xdy$$

Интегрируем по $y$, $3x$ является константой:

$$f_{\xi }(x)=3x\cdot y{|}_0^x=3x\cdot (x-0)=3x^2$$

Плотность не может существовать вне рамок области, поэтому полный ответ:

$$f_{\xi }(x)=3x^2{\mathbb{I}}_{[0,1]}(x)$$

Решение пункта в) (Поиск плотности $\eta$)

Аналогично пункту б), но теперь по переменной $x$

$$f_{\eta }(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$$

переменная $x$ меняется от нижней границы ($x=y$) до верхней границы ($x=1$).

$$f_{\eta }(y)={\int }_y^{1}3xdx$$

Интегрируем по $x$:

$$f_{\eta }(y)=\frac{3}{2}{x}^2{|}_y^1=\frac{3}{2}(1-y^2)$$

Плотность не может существовать вне рамок области, поэтому полный ответ:

$$f_{\eta }(y)=\frac{3}{2}(1-y^2){\mathbb{I}}_{[0,1]}(y)$$

Решение пункта г) (Проверка на независимость с помощью плотности)

Проверим определение независимости для НСВ
$f_{\xi ,\eta }(x,y)=f_{\xi }(x)\cdot f(\eta )(y)$ – верно?
подставим результаты из предыдущих пунктов
$3x{\mathbb{I}}_D(x,y)\stackrel{?}{=}\frac{3}{2}(1-y^2){\mathbb{I}}_{[0,1]}(y)\cdot 3x^2{\mathbb{I}}_{[0,1]}(x)$
$3x{\mathbb{I}}_D(x,y)\ne \frac{3}{2}(1-y^2){\mathbb{I}}_{[0,1]}(y)\cdot 3x^2{\mathbb{I}}_{[0,1]}(x)⟹$ случайные величины зависимы

Решение пункта д) (Поиск функции распределения через плотность)

Видео

Похожий пример представлен в видео

По определению

$${\mathcal{F}}_{(\xi ,\eta )}(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^y{f}_{\xi ,\eta }(u,v)dudv$$

Исходную область $D$ можно разбить на 5 частей, посмотрим их:
Область I ($x<0$ или $y<0$)

$${\mathcal{F}}_{\xi ,\eta }(x,y)=0$$

Область II ($(x,y)\in D$) точка в треугольнике

Для удобства внешний интеграл берем по $v$

$${\mathcal{F}}_{\xi ,\eta }(x,y)={\int }_0^{y}dv{\int }_v^{x}3udu={\int }_0^y\frac{3}{2}{u}^2{|}_v^{x}dv={\int }_0^y\frac{3}{2}{x}^2-v^{2}dv=\frac{1}{2}(3x^{2}y-y^3)$$

Область III ($0<x\le 1$ и $y>x$) точка над треугольником

Для удобства внешний интеграл берем по $u$

$${\mathcal{F}}_{\xi ,\eta }(x,y)={\int }_0^{x}du{\int }_0^{u}3udv=3{\int }_0^{x}u\cdot u\cdot du=3\cdot \frac{u^3}{3}{|}_o^x=x^3$$

Область IV ($0\le y<1,x>1$) точка справа от треугольника

Для удобства внешний интеграл берем по $v$

$${\mathcal{F}}_{\xi ,\eta }(x,y)={\int }_0^{y}dv{\int }_v^{1}3udu=3{\int }_0^y\left(\frac{1}{2}-\frac{v^2}{2}\right)dv=\frac{3}{2}y-\frac{3}{3\cdot 2}{y}^3=\frac{1}{2}(3y-y^3)$$

Область V ($x>1,y>1$)

$${\mathcal{F}}_{\xi ,\eta }(x,y)=1$$

Итоговый ответ:

$$F_{\xi ,\eta }(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{при }x\le 0\text{ или }y\le 0;\\ \frac{1}{2}(3x^{2}y-y^3),& \text{при }0<y\le x\le 1;\\ x^3,& \text{при }0<x\le 1,y>x;\\ \frac{1}{2}(3y-y^3),& \text{при }x>1,0<y\le 1;\\ 1,& \text{при }x>1,y>1.\end{array}$$

Ответы

а) $f_{\xi ,\eta }(x,y)=3x{\mathbb{I}}_D(x,y)$
б) $f_{\xi }(x)=3x^2{\mathbb{I}}_{[0,1]}(x)$
в) $f_{\eta }(y)=\frac{3}{2}(1-y^2){\mathbb{I}}_{[0,1]}(y)$
г) Зависимы
д)

$$F_{\xi ,\eta }(x,y)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{при }x\le 0\text{ или }y\le 0;\\ \frac{1}{2}(3x^{2}y-y^3),& \text{при }0<y\le x\le 1;\\ x^3,& \text{при }0<x\le 1,y>x;\\ \frac{1}{2}(3y-y^3),& \text{при }x>1,0<y\le 1;\\ 1,& \text{при }x>1,y>1.\end{array}$$