Свойства условной вероятности

Свойство 1 (Аксиома неотрицательности):

Условная вероятность не может быть отрицательной.
$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B ) \geq 0}{P ( B ) > 0} \geq 0$

Свойство 2 (Аксиома нормировки):

Условная вероятность достоверного события $Ω$ при любом условии $B$ равна 1.
$P (Ω∣ B) = \frac{P ( Ω \cap B )}{P ( B )} = \frac{P ( B )}{P ( B )} = 1$

Свойство 3 (Аксиома аддитивности):

Если события несовместны, то вероятность того, что при условии $B$ произойдет хотя бы одно из них, равна сумме их условных вероятностей. $P (A_{1} \cup A_{2} ∣ B) = P (A_{1} ∣ B) + P (A_{2} ∣ B)$

Доказательство

$A_{1}, A_{2}$ – несовместные события $⟹ A_{1} \cap A_{2} = \emptyset$

Лемма: Докажем, что события, попавшие в $B$ , тоже несовместны, чтобы применить свойство сложения несовместных событий: $(A_{1} \cap B) \cap (A_{2} \cap B) = B \cap A_{1} \cap A_{2} \emptyset = \emptyset$

Теперь распишем условную вероятность по определению и получим требуемое $P (A_{1} \cup A_{2} ∣ B) = \frac{P (( A _{1} \cup A _{2} ) \cap B )}{P ( B )} = \frac{P (( A _{1} \cap B ) \cup ( A _{2} \cap B ))}{P ( B )} = лемма = \frac{P ( A _{1} \cap B ) + P ( A _{2} \cap B )}{P ( B )} = \frac{P ( A _{1} \cap B )}{P ( B )} + \frac{P ( A _{2} \cap B )}{P ( B )} = P (A_{1} ∣ B) + P (A_{2} ∣ B)$

etuMath

Проводник

Свойства условной вероятности

Вид графа

Обратные ссылки