Если есть два линейно независимых вектора , то с их помощью всегда можно получить пару ортогональных векторов.
В качестве первого вектора выбираем любой вектор из данных двух, например, , т.е.
Затем строим второй вектор , причем выбираем так, чтобы выполнялось требуемое условие: , т.е. .
Аналогично можно поступить с тремя линейно независимыми векторами и так далее. Этот приём лежит в основе алгоритма Грама-Шмидта.
Теорема
В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство
На основе исходного базиса построим ортогональный базис , используя следующие равенства:
Необходимо показать, что ни один из последовательно вычисляемых векторов не является нулевым и что все векторы попарно ортогональны.
Воспользуемся Метод математической индукции для .
При имеем один ненулевой вектор.Далее, пусть - ненулевые векторы, образующие ортогональную систему (т.е. попарно ортогональные). Построим ( )-й вектор:
Если , то является линейной комбинацией векторов , которые по заданию алгоритма выражаются через векторы
Получается, что векторы линейно зависимы, что невозможно, так как они являются частью базиса.
Теперь покажем, что (ортогонален) для . Для этого последовательно скалярно умножим на при :(поясните, почему из всей суммы осталось только одно слагаемое)
Мы построили ортогональный базис. Чтобы построить ортонормированный, разделим каждый вектор нового базиса на его норму:Теорема доказана.