Теорема. Сохранение линейной зависимости векторов

Теорема

Если к линейно зависимым векторам $a_1,a_2,\dots ,a_n$ добавить произвольные векторы $b_1,b_2,\dots ,b_m$, то множество векторов $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_m$ будет линейно зависимым.

Доказательство

По определению: ${\alpha }_1{a}_1+\dots +{\alpha }_n{a}_n=\theta$ при некоторых ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in P$ (не всех равных 0 ).
Добавляя к левой части равенства любую линейную комбинацию векторов с нулевыми коэффициентами, вновь получим верное равенство, в частности:
${\alpha }_1{a}_1+\dots +{\alpha }_n{a}_n+0b_1+\dots +0b_m=\theta$,
что является условием линейной зависимости множества векторов $a_1,a_2,\dots ,a_n,b_1,b_2,\dots ,b_m$.

Следствие

Если векторы $a_1,a_2,\dots ,a_n$ линейно независимы, то любое их подмножество также линейно независимо.

линейноепространство