Теорема. Проекция вектора на подпространство

Теорема

Если $x_0$ - проекция $x$ на подпространство $U,x_1\in U,x_1\ne x_0$, то норма$\Vert x-x_0\Vert \le \Vert x-x_1\Vert$

Доказательство

По теореме Пифагора (так как ортогональны $\left(x-x_0\right)\perp \left(x_0-x_1\right)\in U)$ :
${\Vert x-x_1\Vert }^2={\Vert x-x_0+x_0-x_1\Vert }^2={\Vert x-x_0\Vert }^2+{\Vert x_0-x_1\Vert }^2$
т.е. $\Vert x-x_0\Vert \le \Vert x-x_1\Vert$

евклидовопространство