Теорема. Линейная зависимость трехмерных векторов

Теорема

Система векторов $\overline{a_1},\overline{a_2},\overline{a_3}\in V^3$ линейно зависима $⟺\overline{a_1},\overline{a_2},\overline{a_3}$ компланарны

Доказательство

Пусть система векторов $\overline{a_1},\overline{a_2},\overline{a_3}$ линейно зависима. Это означает, что найдутся такие числа ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\in R,\left|{\lambda }_1\right|+\left|{\lambda }_2\right|+\left|{\lambda }_3\right|\ne 0$, что ${\lambda }_1\cdot \overline{a_1}+{\lambda }_2\cdot \overline{a_2}+{\lambda }_2\overline{a_3}=\overline{0}$.

Пусть ${\lambda }_1\ne 0$. Тогда $\overline{a_1}=-\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\overline{a_2}-\frac{{\lambda }_3}{{\lambda }_1}\overline{a_3}$
т.е. векторы образуют стороны треугольника, а значит, лежат в одной плоскости (при соответствующем выборе представителей)

Обратно. В плоскости $\alpha$ отложим от точки $A$ векторы $\overline{a_1}$ и $\overline{a_2}:\overline{AB}=\overline{a_1},\overline{AC}=\overline{a_2}$ :

> > > > Проведём прямую $l \| \overline{a_{3}}$, как показано на рисунке. И продлим векторы $\overline{A B}, \overline{A C}$ до пересечения с прямой. > Получаем, что при некоторых $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ $$\begin{aligned} > & \overline{A B^{\prime}}=\lambda_{1} \overline{a_{1}}, \overline{A C^{\prime}}=\lambda_{2} \overline{a_{2}}, \overline{B^{\prime} C^{\prime}}=\lambda_{3} \overline{a_{3}} \\ > & \overline{A B^{\prime}}+\overline{B^{\prime} C^{\prime}}+\overline{C^{\prime} A}=\overline{0}, \text { или } \\ > & \lambda_{1} \overline{a_{1}}+\lambda_{3} \overline{a_{3}}-\lambda_{2} \overline{a_{2}}=\overline{0} > \end{aligned}$$

вектор