Теорема. Линейная зависимость двумерных векторов

Теорема

Система векторов $\overline{a_1},\overline{a_2}\in V^2$ линейно зависима $⟺$ векторы коллинеарны $\overline{a_1}\Vert \overline{a_2}$

Доказательство

Пусть система векторов $\overline{a_1},\overline{a_2}\in V^2$ линейно зависима. Это означает, что найдутся такие числа ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in R,\left|{\lambda }_1\right|+\left|{\lambda }_2\right|\ne 0$, что ${\lambda }_1\cdot \overline{a_1}+{\lambda }_2\cdot \overline{a_2}=\overline{0}$

Пусть ${\lambda }_1\ne 0$. Тогда ${\lambda }_1\cdot \overline{a_1}=-{\lambda }_2\cdot \overline{a_2}$, т.е. $\overline{a_1}=-\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\cdot \overline{a_2}$
что и требовалось показать.

Обратно: пусть векторы коллинеарны.
Тогда $\overline{a_1}=\lambda \overline{a_2}$ при некотором вещественном $\lambda$. Следовательно, $\overline{a_1}-\lambda \overline{a_2}=\overline{0}$, т.е. векторы линейно зависимы.

вектор