Теорема. Критерий Сильвестра

Теорема

Для симметричной квадратичной формы

$$Q(x)=\sum _{i,j=1}^n{q}_{ij}{x}_i{x}_j$$

положительная определённость эквивалентна строгости всех её угловых миноров:

$${\Delta }_k>0,k=1,\dots ,n,$$

где

$${\Delta }_k=\left|\begin{array}{cccc}{q}_{11}& q_{12}& \dots & q_{1k}\\ q_{21}& q_{22}& \dots & q_{2k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ q_{k1}& q_{k2}& \dots & q_{kk}\end{array}\right|,{\Delta }_0:=1.$$

Доказательство

1. Достаточность.
Предположим, что ${\Delta }_k>0$ для всех $k$.
Применяя метод Якоби, строим последовательность векторов

$$f_1={\alpha }_{11}{e}_1,f_2={\alpha }_{21}{e}_1+{\alpha }_{22}{e}_2,\dots ,f_n={\alpha }_{n1}{e}_1+\dots +{\alpha }_{nn}{e}_n,$$

удовлетворяющих $B(f_i,e_j)=0(i>j),B(f_i,e_i)=1$

Как показано ранее, тогда

$${\alpha }_{ii}=B(f_i,f_i)=\frac{{\Delta }_{i-1}}{{\Delta }_i}>0,i=1,\dots ,n.$$

В базисе $\{f_i\}$ матрица формы диагональна:

$$Q_f=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_{11}& 0& \dots & 0\\ 0& {\alpha }_{22}& \dots & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & {\alpha }_{nn}\end{array}\right)$$

причём все диагональные элементы положительны, следовательно $Q$ положительно определена.
2. Необходимость.
Пусть форма $Q$ положительно определена. Тогда в некотором ортогональном базисе она имеет канонический вид

$$Q_u(x)={\lambda }_1{x}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{x}_n^2,{\lambda }_i>0.$$

Пусть $C$ — матрица перехода от исходного базиса к этому. Тогда

$$Q=C^{\mathsf{T}}{Q}_{u}C,\det Q=(\det C{)}^2\det Q_u>0.$$

Отсюда ${\Delta }_n=\det Q>0$.
Рассмотрим для любого $k<n$ ограниченную форму

$$Q_k(x_1,\dots ,x_k)=Q(x_1,\dots ,x_k,0,\dots ,0).$$

Поскольку $Q$ положительно определена, то $Q_k$ также положительно определена (достаточно подставить в исходную форму вектор с последними $n-k$ нулевыми координатами).
Следовательно, её матрица — левый верхний $k\times k$ блок исходной матрицы — имеет положительный Определитель:

$$\det (q_{ij}{)}_{i,j=1}^k={\Delta }_k>0.$$

Это верно для всех $k=1,\dots ,n$, что и доказывает необходимость.
Итого. Положительная определённость формы $⟺$ положительность всех угловых миноров ${\Delta }_k$.

билинейнаяиквадратичнаяформы