Теорема. Координаты в ортогональном базисе

Теорема

Если $e_i.e_2,\dots ,e_n$ - ортогональный базис и $a={\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\dots {\alpha }_n{e}_n$, то

$${\alpha }_i=\frac{\left(a,e_i\right)}{\left(e_i,e_i\right)},i=1,2,\dots ,n$$

Доказательство

$\left(a,e_i\right)=\left({\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2+\dots {\alpha }_n{e}_n,e_i\right)={\alpha }_i\left(e_i,e_i\right)$
откуда получаем необходимое равенство при $i=1,2,\dots ,n$

Дополнение

Исходя из определения проекции вектора на вектор и теоремы, заключаем, что любой вектор равен сумме своих проекций на векторы базиса.

евклидовопространство