Теорема. Достаточное условие линейной независимости функций

Теорема

Если $\exists x\in \mathbf{R}:W\left(y_1,y_1,\dots ,y_n\right)(x)\ne 0$¹, то функции $y_1,y_2,\dots ,y_n$ являются линейно независимыми ².
(без доказательства)

Примеры

1. Пусть $y_1=x-1,y_2=x^2-1,y_3=x^3-1$

$$\text{ Тогда }W\left(y_1,y_2,y_3\right)=\left|\begin{array}{ccc}x-1& x^2-1& x^3-1\\ 1& 2x& 3x^2\\ 0& 2& 6x\end{array}\right|=2x^3-6x^2+6x-2=2(x-1{)}^3\ne 0,\forall x\ne 1$$

Следовательно, функции линейно независимы².

2. Пусть $y_1=e^{2x},y_2=e^{3x}$

Тогда $W\left(y_1,y_2,\right)=\left|\begin{array}{cc}{e}^{2x}& e^{3x}\\ 2e^{2x}& 3e^{3x}\end{array}\right|=3e^{5x}-2e^{5x}=e^{5x}\ne 0$ при $\forall x\in \mathbf{R}$.
Следовательно, функции линейно независимы².

линейныйдифференциальныйоператор

Footnotes

1. $W\left(y_1,y_1,\dots ,y_n\right)(x)$ - Определитель Вронского ($y$ это функции, а $x$ аргумент для каждой из функций) ↩

2. Линейная независимость функций означает, что никакую из этих функций нельзя представить как линейную комбинацию других (по аналогии с векторами) ↩ ↩² ↩³