Комплексный логарифм

Рассмотрим:

$$z=r{e}^{i\varphi }=r{e}^{i(\varphi +2\pi k)}⟹\ln z=\ln r+\ln e^{i(\varphi +2\pi k)}=\ln r+i(\varphi +2\pi k)$$

Def. Комплексным логарифмом называется выражение $\mathrm{Ln}z=\ln r\text{(вещественная часть)}+i(\varphi +2\pi k)\text{(мнимая часть)}$

Обозначение

Будем теперь обозначать комплексный логарифм с заглавной буквы. Обратим внимание, что вещественная его часть определяется однозначно, а мнимая - нет. Для достижения однозначности вводится понятие главного значения.

Def. Главным значением комплексного логарифма называется $\ln z=\mathrm{Lnz}$ при $\varphi \in (-\pi ,\pi ]$.
Комплексный логарифм не определён для $z=0$, а его вещественная часть равна

$$\ln r=\ln \sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)$$

Пример

1. Поскольку $-1=e^{\pi +2\pi k}$,
   то главным значением будет $\ln (-1)=i\pi$, а общим $\mathrm{Ln}(-1)=i\pi (2k+1)$.
2. При $x>0$ имеем:
   $\mathrm{Ln}(-x)=\mathrm{Ln}(-1)(x)=\ln x+\mathrm{Ln}(-1)=\ln x+i(\pi +2\pi k)$
   $i=e^{\frac{\pi }{2}+2\pi k}$
   Следовательно:
   $\ln i=\frac{\pi }{2}i$
   $\mathrm{Ln}i=\frac{\pi }{2}i(1+4k)$.

комплексныечисла