Свойства геометрических векторов

1. Коммутативность: $\forall \bar{a},\bar{b}\in V^3(\bar{a}+\bar{b}=\bar{b}+\bar{a})$

   Следует из правила параллелограмма.

2. Ассоциативность: $\forall \bar{a},\bar{b},\bar{c}\in V^3((\bar{a}+\bar{b})+\bar{c}=\bar{a}+(\bar{b}+\bar{c}))$

   Для доказательства возьмите произвольный представитель $\overline{AB}$ вектора $\bar{a}$, представитель $\overline{BC}$ вектора $\bar{b}$ отложите от точки $B$, представитель $\overline{CD}$ вектора $\bar{c}$ отложите от точки $C$. Отдельно рассмотрите случай коллинеарных векторов.

3. $\exists \bar{d}\in V^3:\forall \bar{a}\in V^3(\bar{a}+\bar{d}=\bar{d}+\bar{a}=\bar{a})$

   Это нулевой вектор

4. Обратимость: $\forall \bar{a}\in V^3\exists \bar{w}\in V^3:(\bar{a}+\bar{w}=\bar{w}+\bar{a}=\overline{0})$

   Это противоположный вектор, т.е. $-\bar{a}$.

5. $\forall \lambda ,\mu \in P\forall \bar{a}\in V^3((\lambda \mu )\bar{a}=\lambda (\mu \bar{a}))$

   Достаточно сравнить длину и направление, рассмотрев все варианты сочетания знаков.

6. $\forall \lambda ,\mu \in P\forall \bar{a}\in V^3((\lambda +\mu )\bar{a}=\lambda \bar{a}+\mu \bar{a})$

   Аналогично плюс варианты соотношения абсолютных величин $|\lambda |,|\mu |$ :
   $(+,+),(-,-),(+,-,>),(+,-,<)$.

7. $\forall \lambda \in P\forall \bar{a},\bar{b}\in V^3(\lambda (\bar{a}+\bar{b})=\lambda \bar{a}+\lambda \bar{b})$

   Следует из подобия треугольников (неколлинеарный случай).
   Коллинеарный случай рассмотрите отдельно.

   

8. $\forall \bar{a}\in V^{3}1\cdot \bar{a}=\bar{a}$.

   Очевидно

Свойства $1-8$ свидетельствуют о том, что множество геометрических векторов$V^3$ (верно и для $V^2$ ) образует линейное пространство

вектор