Алгоритм построения частного решения ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Алгоритм построения частного решения ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Перейдём к ЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и стандартной правой частью (в общем случае неоднородные), то есть

$$y^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=f,\text{где }f(x)=e^{ax}(P_k(x)\cos bx+Q_l(x)\sin bx).$$

В данном случае общее решение будет выглядеть следующим образом:

$$y=y_{\ast }+C_1{y}_1+C_2{y}_2,$$

где $y_1,y_2$ — линейно независимые частные решения ЛДУ. Варианты $y_1,y_2$ описаны выше.
Будем искать частное решение $y_{\ast }$ в виде:

$$e^{ax}(A_m(x)\cos bx+B_m(x)\sin bx)x^r,$$

где $m=\max (k,l)$, а $A_m(x),B_m(x)$ — многочлены степени $m$ с неопределёнными коэффициентами, а $r$ — кратность корня $a+bi$ в характеристическом уравнении соответствующего ЛОДУ (в частности, если кратность нулевая, то $r=0$ и данный множитель равен 1 ).

Пример

Рассмотрим неоднородное ЛДУ:

$$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=e^{2x}.$$

Так как корнями характеристического уравнения являются числа $2$ и $3$, $\mathrm{Ker}{L}_2=⟨e^{2x},e^{3x}⟩$ ¹

Функция $f(x)=e^{2x}$ принадлежит $\mathrm{Ker}{L}_2$ и может быть представлена в виде

$$e^{2x}(P_0(x)\cos 0x+Q_0(x)\sin 0x),$$

поэтому предполагаем частное решение в виде

$$y_{\ast }=e^{2x}(A_0(x)\cos 0x+B_0(x)\sin 0x)x^1=A_{0}x{e}^{2x},$$

где $m=\max (k,l)=0$, а кратность корня $2+0i$ равна $r=1$.

Подставим $y_{\ast }=A_{0}x{e}^{2x}$ в ДУ:

$$\begin{array}{rl}& (A_{0}x{e}^{2x}{)}^{\prime \prime }-5(A_{0}x{e}^{2x}{)}^{\prime }+6A_{0}x{e}^{2x}=\\ & =(2A_0{e}^{2x}(1+2x)+2A_0{e}^{2x})-5(A_0{e}^{2x}(1+2x))+6\left(A_{0}x{e}^{2x}\right)=e^{2x}.\end{array}$$

Откуда

$$-A_0=1,A_0=-1.$$

В итоге:

$$y=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}-x{e}^{2x}.$$

линейныйдифференциальныйоператор

Footnotes

1. $\mathrm{Ker}{L}_2$ - Ядро линейного дифференциального оператора ↩